导数证明不等式

第一篇：应用导数证明不等式

应用导数证明不等式

常泽武指导教师：任天胜

（河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000）

摘要： 不等式在初等数学和高等代数中有广泛的应用，证明方法很多，本文以函数的观点来认识不等式，以导数为工具来证明不等式。

关键字： 导数 不等式最值中值定理单调性泰勒公式

中图分类号： o13

application derivative to testify inequality

changzewu teachers: rentiansheng

(hexi institute of mathematics and statistics gansu zhang ye 734000) abstract: he inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.

key words: the most value of deriv(请你继续关注：www.)ative inequality value theorem monotonicity taylor formula

1.利用微分中值定理来证明不等式

在数学分析中，我们学到了拉格朗日中值定理，其内容为：

定理1.如果函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?上可导，则至少存在一点???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探讨可微函数的的几何特性及证明不等式的重要工具，我们可以根据以下两种方法来证明。

（1）首先，分析不等式通过变形，将其特殊化。其次，选取合适的函数和范围。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根据函数的单调性和最大值和最小值。

（2）我们可根据其两种等价表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我们可以?的范围来证明不等式。 f(b)?f(a)。 b?a

11(x?0)例1.1证明不等式ln(1?)?x1?x

证明第一步变形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x) x

第二步选取合适的函数和范围

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步应用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x) (1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln( x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2证明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

证明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

当h>0时有

1??h?1?1?h,

当?1?h?0时有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函数单调性证明不等式

我们在初等数学当中学习不等式的证明时用到了两种方法：一种是判断它们差的正负，另一种是判断它们的商大于1还是小于1.而我们今天所要讨论的是根据函数的导数的思想来判断大小。

定理：设函数f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?可导，那么

（1） 若在?a,b?内f'(x)?0则f(x)在?a,b?内单调递增。

（2） 若在?a,b?内f'(x)?0则f(x)在?a,b?内单调递减。

使用定理：要证明区间?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令f(x)?f(?x)。 g使在(x)?a,b?上f'(x)>0（f'(x)<0）且f(a)=0或（f(b)=0）例2.1 设x?0证明不等式ln(1?x)?xe?x

证明：令f(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

显然f(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0） f'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

现在来证明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1显然f(0)?0

当x?0时f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上递增

故对x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以f'(x)?0故f(x)递增

又因为f(0)?0

所以f(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函数的最大值和最小值证明不等式

当等式中含有“=”号时，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等价于函数g(x)?g(x)?f(x)有最小值或f(x)?f(x?)g(有最大值。x)

证明思路：由待正不等式建立函数，通过导数求出极值并判断时极大值还是极小值，在求出最大值或最小值，从而证明不等式。

1例3.1证明若p>1，则对于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

证明：构造函数f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

则有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，从而求得x?1。由于2

函数f(x)在闭区间?0,1?上连续，因而在闭区间?0,1?上有最小值和最大值。

由于函数f(x)内只有一个驻点，没有不可导点，又函数f(x)在驻点x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),区间端点(x?0和x?1)的函数值为f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值为p?1，最大值为1，从而对于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。 ，既有p?1p?122……此处隐藏768个字……用[j].中学生数理化(高二版),2014,(第z1期).

9. 导数在证明不等式中的一些应用【作 者】 甘启才【刊 名】广西师范学院学报(自然科学版)【出版日期】2014【期 号】第s1期【页 码】73-75

【参考文献格式】甘启才.导数在证明不等式中的一些应用[j].广西师范学院学报(自然科学版),2014,(第s1期).

10.【作 者】 王莉闻【刊 名】考试周刊【出版日期】2014【期 号】第82期【参考文献格式】王莉闻.导数在不等式证明中的应用[j].考试周刊,2014,(第82期).

【摘 要】导数知识是高等数学中极其重要的部分,它的内容、思想和应用贯穿于整个高等数学的教学之中.利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法,它能使不等式的证明化难为易,迎刃而解.在不等式证明的种种方法中,它占有重要的一席之地.本文将从利用函数的单调性,利用函数的最值（或极值）

11.【作 者】 王翠丽【刊 名】数学之友【出版日期】2014【期 号】第6期【页 码】84，86【参考文献格式】王翠丽.导数在不等式证明中的应用[j].数学之友,2014,(第6期).

12.【作 者】 王强;申玉芹【刊 名】中学数学【出版日期】2014【期 号】第9期【页 码】6【参考文献格式】王强,申玉芹.导数在不等式中的应用[j].中学数学,2014,(第9期).

13.【作 者】 朱帝【刊 名】数理化学习【出版日期】2014【期 号】第3期【页 码】2-4【参考文献格式】朱帝.导数在证明不等式中的应用[j].数理化学习,2014,(第3期).

14.【作 者】 王伟珠【刊 名】佳木斯教育学院学报【出版日期】2014【期 号】第6期【参考文献格式】王伟珠.导数在不等式证明中的应用[j].佳木斯教育学院学报,2014,(第6期).

15.【作 者】 张根荣;李连方【刊 名】中学数学研究【出版日期】2014【期 号】第11期【页 码】24-25【参考文献格式】张根荣,李连方.导数在不等式证明中的应用[j].中学数学研究,2014,(第11期).【摘 要】“问题是数学的心脏”，数学学习的核心就应该是培养解决数学问题的能力．正如波利亚指出的：“掌握数学就是意味着善于解题．”“中学数学首要的任务就是加强解题的训练”．在数学教学中，例题、习题的解答过程是学生建构知识的重要基础，是学生学习不可缺少的重要组成部分．因此在课堂教学有限的45分钟内，如何发挥例题的功能，

16.【作 者】 张萍【刊 名】西部大开发：中旬刊【出版日期】2014【期 号】第7期【页 码】176-177【参考文献格式】张萍.导数在证明不等式中的有关应用[j].西部大开发：中旬刊,2014,(第7期).【摘 要】导数是高等数学中最基本最重要的内容之一，用导数的方法证明不等式是不等式证明重要的组成部分，具有较强的灵活性和技巧性。掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学好高等数学有很大帮助。本文将通过举例和说明的方式来阐述不等式证明中导数的一些方法和技巧，提高学生用导数证明不等式的能力．

17.【作 者】 李旭金【刊 名】新作文(教育教学研究)【出版日期】2014【期 号】第11期【页 码】31【参考文献格式】李旭金.导数在不等式中的应用[j].新作文(教育教学研究),2014,(第11期).

18.【作 者】 李晋【刊 名】大视野【出版日期】2014【期 号】第3期【页 码】241-243【参考文献格式】李晋.导数在不等式证明中的应用[j].大视野,2014,(第3期).

第5期【页 码】24-26【参考文献格式】高芳.导数在不等式证明中的应用[j].商丘职业技术学院学报,2014,(第5期).

20.【作 者】 蔡金宝【刊 名】吉林省教育学院学报(学科版)【出版日期】2014

【期 号】第9期【页 码】85-86【参考文献格式】蔡金宝.导数在不等式证明中的应用[j].吉林省教育学院学报(学科版),2014,(第9期).

21. 浅谈导数在不等式证明问题中的应用【作 者】 姜治国【刊 名】考试(高考 数学版)【出版日期】2014【期 号】第z5期【页 码】54-56【参考文献格式】姜治国.浅谈导数在不等式证明问题中的应用[j].考试(高考 数学版),2014,(第z5期).

22.导数在不等式中的一些应用【作 者】 陶毅翔【刊 名】宁德师专学报·自然科学版【出版日期】2014【期 号】第2期【页 码】123-124，127【参考文献格式】陶毅翔.导数在不等式中的一些应用[j].宁德师专学报·自然科学版,2014,(第2期).

23.【作 者】 陈海兰【刊 名】科技信息【出版日期】2014【期 号】第8期【参考文献格式】陈海兰.导数在不等式中的应用[j].科技信息,2014,(第8期).【摘 要】本文给出了几种用导数来证明不等式的方法,通过这些方法,可以比较简洁,快速地解决一些不等式的证明问题.

24.【作 者】 胡林【刊 名】科技咨询导报【出版日期】2014【期 号】第5期

【页 码】95-96【参考文献格式】胡林.导数在不等式证明中的应用[j].科技咨询导报,2014,(第5期).

25.【作 者】 胡林【刊 名】科技资讯【出版日期】2014【期 号】第36期【页 码】148【参考文献格式】胡林.导数在不等式证明中的应用[j].科技资讯,2014,(第36期).

26.【作 者】 周晓农【刊 名】贵阳金筑大学学报【出版日期】2014【期 号】第3期【页 码】107-110+87【参考文献格式】周晓农.导数在不等式证明中的应用[j].贵阳金筑大学学报,2014,(第3期).

27.【作 者】 葛江峰【刊 名】中学理科：综合【出版日期】2014【期 号】第9期【页 码】52【参考文献格式】葛江峰.导数在不等式中的应用[j].中学理科：综合,2014,(第9期).【摘 要】新课程试卷将导数与传统的不等式证明有机结合在一起设问，是一种新颖的命题模式，体现导数在分析和解决一些函数性质问题的工具作用，以下介绍几种应用导数证明不等式的方法，供大家参考。

28.【作 者】 梁俊平【刊 名】龙岩师专学报(自然科学版)【出版日期】1997

【期 号】第3期【页 码】167-170【作者单位】不详【参考文献格式】梁俊平.导数在不等式证明中的应用[j].龙岩师专学报(自然科学版),1997,(第3期).

期【页 码】48-53【参考文献格式】杨耀池.导数在不等式中的应用[j].数学的实践与认识,1985,(第2期).

30. 例说应用导数证明不等式【作 者】 冯仕虎【刊 名】数学学习与研究(教研版)【出版日期】2014【期 号】第11期【页 码】109-110【参考文献格式】冯仕虎.例说应用导数证明不等式[j].数学学习与研究(教研版),2014,(第11期).